Guía completa para trabajar con números binarios con punto decimal

Los sistemas numéricos son una serie de normas y símbolos que posibilitan expresar datos en forma de números, la mayoría de ellos son posicionales, lo que significa que un símbolo puede variar su valor dependiendo de su posición en el número. En el presente escrito, nos concentraremos en dos sistemas fundamentales: el decimal y el binario, cuyas nociones son esenciales para comprender el fascinante universo de la gestión de redes.

numeros binarios con punto decimal

Expresión en base de los valores numéricos decimales

Para trabajar con números decimales en sistemas informáticos, es necesario representarlos en binario. Por lo tanto, es esencial saber cómo realizar esta conversión en ambas direcciones. En este tema aprenderemos sobre un conversor binario-decimal para practicar estas conversiones.

Debido a que la representación binaria de un número decimal siempre estará acotada por un número limitado de bits, esto puede afectar la precisión que podemos obtener. Por ejemplo, en la Figura se puede apreciar que con una representación de 8 bits fraccionarios, solo podremos tener un máximo de 2 dígitos decimales. Por lo tanto, desde 3.008 hasta 3.011 se representarán con el mismo binario 11.00000010.

Otro aspecto importante a tener en cuenta en relación a los números binarios son las operaciones aritméticas. En este tema también veremos una calculadora binaria que nos permitirá realizar operaciones básicas y que nos será útil para resolver problemas en temas posteriores.

Acierto de la codificación binaria en la conversión de números en sistema decimal

La importancia de conocer la falta de exactitud en la representación binaria de algunos números radica en la pérdida de precisión en comparación con los decimales. Por ejemplo, si representamos el decimal 0.7 en su forma binaria con sólo 8 dígitos fraccionarios, su valor es 0.10110011, lo que resulta en un error de 0.00078125 al calcular su valor decimal, es decir, 0.7 - 0.69921875 = 0.00078125.

El máximo error que podemos cometer al utilizar sólo ocho dígitos binarios en la parte fraccionaria siempre será menor que 2-8 = 0.00390625. Un ejemplo de esto sería el binario 0.00000000111111···, con ocho ceros en la parte fraccionaria representable y el resto infinitos unos, que equivale aproximadamente a 2-8. Por lo tanto, al recortar el binario 11.00000000111111··· a sólo ocho dígitos fraccionarios, obtenemos 11.00000000, con un error de 0.00000000111111··· que es igual a 2-8 = 0.00390625. A este valor se le conoce como Epsilon, siendo ε = 2-8 para este sistema binario de 8 bits.

Otro inconveniente de la representación binaria de fracciones es la falta de precisión. Por ejemplo, si tenemos el número real 3.00390625, cuyo binario exacto es 11.00000001 con un número determinado de ocho dígitos fraccionarios, si aumentamos un bit obtendríamos 11.00000010, cuyo valor decimal es 3.0078125 = 3.00390625 + 2-8. De esta forma, podemos expresar este número como 3.00390625 + ε utilizando la denominación anterior.

Dividir números binarios

La división de binarios también se basa en el mismo procedimiento que la división de números decimales que aprendimos. Pongamos como ejemplo la división de 1100 entre 10.1: 100.110011001100···. Al igual que en la multiplicación, tomaremos en cuenta la posición del punto decimal en ambos números, convirtiendo primero 1100 y 10.1 a números enteros para poder realizar la división.

En el algoritmo clásico de división, utilizamos la operación de resta, que ya conocemos. A continuación, mostramos un ejemplo paso a paso de la división de 1100 entre 101, donde obtendremos siete dígitos fraccionarios:

  • 1 < 101 ⇒ q = 0: mientras los dígitos que tomamos del dividendo sean menores que el divisor, agregamos ceros al cociente.

Sistema Binario

Este sistema utiliza únicamente dos dígitos: 0 y 1. Cada posición tiene un valor que corresponde a una potencia de base 2, con un exponente igual a la posición del dígito menos 1.

La razón de su popularidad radica en su uso en computadoras y dispositivos electrónicos. Internamente, estos equipos emplean el valor 0 para inhibir y el 1 para generar impulsos eléctricos en su comunicación interna.

Sumar números binarios

Para sumar binarios, se utiliza una tabla base que consta de tres bits: p + q + a. P y q son los operandos de la suma, mientras que a representa el acarreo de la suma anterior. En el código, esta tabla se presenta en forma de objeto para facilitar su utilización.Para realizar la suma, se van añadiendo los bits de ambos operandos utilizando la tabla previamente mencionada. A modo de ejemplo, se sumarán los números binarios 11.1 y 1, lo cual resultará en 100.1. Para ello, se debe alinear por el separador de fracción los dígitos de ambas cantidades, completando con ceros en los lugares necesarios para que tengan el mismo número de caracteres a cada lado.A continuación, se itera por ambos números, empezando por la derecha e iremos sumando bit a bit, tal y como se realiza en una suma manual. El acarreo inicial es igual a cero. Finalmente, obtenemos la cadena "100", que se busca en la tabla mencionada para obtener el resultado (r) y el nuevo acarreo (a).

Restar números binarios

La resta de números binarios se puede realizar utilizando el complemento a uno del segundo número y sumándolo al primero. Veamos cómo funciona con números en base decimal. Supongamos que queremos restar 718 - 46.5 y obtener como resultado 671.5. Para comenzar, alineamos ambos números:

Alineando los números:

718

046.5

Luego, obtenemos el complementario a nueve del segundo número, es decir, en cada dígito restamos su valor a nueve. Así, el 046.5 se convierte en 953.4:

Obteniendo el complementario a nueve:

718

953.4

Ahora, sumamos estos dos operandos y sumamos un acarreo de uno en el dígito más a la derecha:

Sumando los números:

718

953.4

+ 001

1671.5

Finalmente, desechamos el dígito 1 de la izquierda y obtenemos como resultado 671.5, lo que equivale a haber realizado una resta utilizando el complemento a uno. En el fondo, estas son las operaciones que se están llevando a cabo:

Resta de números binarios:

718

+ 953.4

+ 1

1671.5

Sistema Decimal

El sistema de numeración decimal: También conocido como sistema de base diez, es un popular método para representar cantidades. Este sistema utiliza diez dígitos diferentes como base, siendo ellos el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cada uno de estos dígitos tiene un valor asociado dependiendo de la posición que ocupa dentro del número.

Los valores de los dígitos en el sistema decimal: En este sistema, el valor de cada dígito está determinado por su posición en el número. Por ejemplo, el dígito "5" en la posición de las unidades tiene un valor de 5, mientras que el dígito "5" en la posición de las decenas tiene un valor de 50. Esto se debe a que en el sistema decimal, la posición de cada dígito está asociada a una potencia de base 10 y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.

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